乐文67小说网

手机浏览器扫描二维码访问

第21部分（第2页）

此外，我们也可以采用威廉斯的方法。

表格显示了接球者两种不同选择可能导致什么不同结果。

若向正手方移动，我们得到90…20=70　；

向反手方移动，我们得到60…30=30。

将这两个数字倒过来排列就得到最佳混合策略的比例：30％的时间准备向正手方移动，70％的时间准备向反手方移动。

你可能已经注意到，从两位选手的不同角度计算最佳混合策略，会得到一个有趣的共同点：两次计算会得到同样的成功回球概率，即48％。

接球者若采用自己的最佳混合策略，就能将发球者的成功概率拉低到发球者采用自己的最佳混合策略所能达到的成功概率。

这并非巧合，而是两个选手的利益严格对立的所有博弈的一个共同点。

这个结果称为最小最大定理，由前普林斯顿数学家约翰·冯·诺伊曼（John

von　Nrumann）与奥斯卡·摩根斯顿（Oscar

Morgenstern）创立。

这一定理指出，在零和博弈里，参与者的利益严格相反（一人所得等于另一人所失），每个参与者尽量使对手的最大收益最小化，而他的对手则努力使自己的最小收益最大化。

他们这样做的时候，会出现一个令人惊讶的结果，即最大收益的最小值（最小最大收益）等于最小收益的最大值（最大最小收益）。

双方都没办法改善自己的地位，因此这些策略形成这个博弈的一个均衡。

我们以网球比赛为例，并假设每个选手只有两种策略，以此证明这一定理。

假如发球者想努力使接球者的最大成功率最小化，他应该在假设接球者已经正确预计到他的混合策略且会做出最优回应的基础上确定自己的行动。

也就是说，接球者的成功率将是图7…5中两条直线的最大值。

这个最大值的最小值出现在两条直线的相交处，该点的成功率为48％。

图7…5发球手攻正手的概率（％　）

现在我们从接球者的角度考察这个问题：他要努力使自己的最小收益最大化。

如图7…6所示，假如接球者一半时间向正手方移动，一半时间向反手方移动，他的新的收益曲线就是原来两条直线的平均值，以点线显示。

由于这条直线是向上延伸的，其最小值永远出现在左端，该点的成功率为40％。

无论接球者向两方移动的比例是多少，这条直线一定经过成功率为48％的那一点，这是因为发球者可以选择采用40：60的混合策略。

假如这条直线出现任何倾斜，那么，它的一端一定落在48％以下。

只有在接球者的混合策略为30：70的时候，这条直线才会变成一条水平直线，最小值变成48％。

因此，最大值的最小值等于最小值的最大值——48％。

图7…6发球手攻正手的概率（％）

最小——最大定理的普遍证明相当复杂，不过，其结论却很有用，应该记住。

假如你想知道的只不过是一个选手之得或者另一个选手之失，你只要计算其中一个选手的最佳混合策略并得出结果就行了。

我们的其他工具，比如威廉斯的方法和上述图表，能够很好地解决一切只有两个选手参加且他们各有两个策略的零和博弈。

不幸的是，这些工具并不适用于任何非零和博弈，也不适用于选手数目超过两个或者他们拥有的策略数目超过两个的零和博弈。

经济学家和数学家发明了更加普遍的技巧，比如线性规划方法，可以找出最复杂的零和博弈的均衡策略。

虽然这些技巧超出了本书的范围，我们还是可以利用其中得出的结果。

所有混合策略的均衡具有一个共同点：每个参与者并不在意自己在均衡点的任何具体策略。